Что медики-это однозначно..А вот какие,гражданские или военные на этот период трудно сказать..Думаю,что пуговица изготовлена в конце 19-го-начале 20-го века..А в это время,похоже уже мало соблюдался принцип-военные выпуклые гладкие,а гражданские с бортиком...Подобная пуговица есть на сайте в разделе "неопределенные"...Пока точной атрибуции нет...

Да что вы, про военных медиков всё известно. Это не они. А у гражданских медиков своего мундира не было, они носили мундиры тех ведомств, где кто служил.
А эта пуговка, возможно, либо с формы мед. учеб. заведения (правда, не ясно, какого), либо частного мед. учреждения (такие были; напр. "Больница Калгина" в Спб.; правда, их служащие причислялись к МВД...). И по композиции похоже на частные...

"кадуцей атрибут Меркурия. Согласно мифу, Меркурий обнаружил две змеи, которые грызлись друг с другом, он просунул между ними палку, и те слились воедино, отсюда прут или палка получили название кадуцея как знака мира, умиротворения и удаления яда войны при помощи мирных добрых слов."
"мифическя богиня Гигиеия дочь бога медицины Эскулапа, изображалась в виде красивой девушки, державшей в руках чашу, обвитую змеей. У древних греков змея олицетворяла символ мудрости, она выпивала яд из чаши жизни и обезвреживала ее. Чаша со змеей сохранилась до сих пор как эмблема медицины."  
 
с одной стороны "почуствуйте разницу", с другой кадуцей тоже был символом медицины.
 
однако российская символика определила  
перекрещеные кадуцеи - таможне
кадуцей или кадуцей с факелом - комерции и финансам
чашу со змеей или со змеями - медицине
 
у французов змея с зеркалом - медики,
а с якорем соответственно морские медики