Похоже, что в 1812 году пуговичная фабрика при Александровском заводе в Петрозаводске уже не работала.
Арсеньев К.И. "Описание Олонецких заводов, с самого их основания, до последних времен, с кратким обозрением Олонецкой губернии" .
(доклад написан в 1812 году, зачитан в 1819, опубликован в 1830), Труды Минералогического общества, Том 1, СПб., 1830.  
"Отделение III. Разделение Александровского завода на цехи...
Равным образом заведена была также пуговишная фабрика, которая в 1797 году по большому требованию гербовых, губернских пуговиц довольно распространилась, но ныне оставлена."

Пуговицы с клеймом "Алекса Завод" можно привязать к пуговичной фабрике при Александровском заводе в Петрозаводске по пуговицам с Павловским гербом. А вот по пуговицам с клеймом "А. З." еще предстоит определиться.

Классический гос. герб при Павле 1.

На пуговичной фабрике с 1796 года работала одна из первых в России паровых машин. Изготовлялись пуговицы, медали и жетоны.
Но, как я понимаю, в условиях отсутствия массового спроса фабрика не смогла конкурировать с частными фабриками, где использовался менее производительный, но более дешевый труд.
В это же время появилась паровая машина на фабрике Карла Берда. Но его литейно - механический завод помимо пуговиц делал разнообразные и сложные изделия и был вне конкуренции.
Для сравнения, в 1843 году чисто пуговичные фабрики Бурова и Богатова все еще использовали конный привод. И только в 1865 году у Братьев Бух упоминается паровая машина.