тут дело не в орле, по оформлению до 1831 года...

мне тоже кажется, что обсуждение этого типа орла достаточно актуально для общей атрибуции этой пуговки.
орел такого типа был уже в Павловском проекте полного герба Империи (1800), правда, скорее как украшение, элемент оформления, но был.
в армии такая птица появилась в 1808 (или 09) году,  
на монетах не знаю, видел только полуполтину 1826 года
на официально утвержденных пуговках 1827 году (почта)
в оформлении утвержденных земельных гербов с 1843 года.
 
Павловский след, применительно к этой пуговице, мы отвергаем, так как Павловский гос.герб 1799 с поднятыми крыльями,  
в атласе 1800 года на карте  герб Белорусской губернии орел с поднятыми крыльями.  
и в Александровском указе 1801 года говорится о том, что по отмене Павловского герба, употреб##ть тот что был до 1796 года.
 
то есть, у нас остаются варианты:
1. пуговица на губернский мундир чиновника Могилевской губернии (по гербу) - не верю, так как у них по указам 1804, 1809 и 1824 гг. белый цвет пуговиц.
2. пуговица на губернский мундир чиновника Витебской губернии (по цвету пуговицы, по похожести герба) - возможно, но не нравится, все таки отличия в гербах довольно существенны.
3. и самый, с моей точки зрения, интересный вариант, который предлагает коллега grauen83:
пуговица на министерский мундир местного чиновника Могилевской губернии.
например, МинЮст имел желтый прибор, а по параграфу 77 Положения о гражданских мундирах 1834 года, чиновники мест подведомственных МинЮсту имели министерский мундир с пуговицами "с изображением герба той губернии, где кто служит" и о смене прибора ничего не говорится.
т.е. желтая пуговица с гербом губернии.
 
и в связи с этим, мне кажется, на примере подобных пуговиц стоит отходить от огульной датировки "без герба и короны - до 1831 года".
все таки, в указе 1831 года говорится только о губернских мундирах, а в последующих указах о министерских мундирах ничего не говорят о коронах и надписях на пуговицах, только губернский герб.

ну с желтыми вроде все понятно из того же Положения 1834 года.
Полиция расписана в разделе мундиров военного покроя, с выпуклыми пуговицами.  
 
хотя, есть и сомнения, не такие уж и выпуклые эти пуговки, но и считать их плоскими, какого-то министерства, тоже...

пуговки выпуклые, ну выпуклость на них конечно не такая как на военных того периода, но она есть и существенная, и считать их плоскими ну никак нельзя.  
да еще из вот этой давней подборки
http://www.pugoviza.ru/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1295192181
вторая пуговица с Витебским гербом, такая же как из представленных снизу на руке, тоже была с белым покрытием, остатки его на ней есть сзади, того же производителя. т.е. по факту есть две одинаковых выпуклых пуговиц с Витебским гербом с разными покрытиями - желтым и белым.
И еще нельзя выкинуть факт существования таких пуговиц не только с 1834 года
1811 – департаменты Министерства Полиции – пуговицы желтые с обыкновенным Государственным гербом, мундир Градоначальников – пуговицы с гербами городов, ими управляемых
единственное что можно ограничить  
Гродненскую  по 1845год
Остальные  по 1856год

мундир да, про пуговки с губ. гербами не нашел.

да спасибо.
через два месяца.
значит и эта версия подойдет, надо только указ 1850 года посмотреть.

ну здесь про губернские чертежные ни слова, и логично предположить что все в них осталось как и в 1848 году.